✎☛ Raisonnement par équivalence

Méthode

On veut démontrer une propriété qui est une équivalence P ⇔  Q. Effectuer un raisonnement par équivalence, c'est :

• soit procéder par équivalences successives : si P  ⇔  R et R  ⇔  Q, alors P  ⇔  Q ;
  
• soit procéder par double implication : on démontre l'implication directe P  ⇒  Q et l'implication réciproque Q  ⇒  P.
  

Énoncé 1

Résoudre par équivalences l'équation \(x^2=9\) .

Solution

On procède par équivalences successives.
\(x^2=9 \Leftrightarrow x^2-9=0 \Leftrightarrow (x-3)(x+3)=0 \Leftrightarrow x-3=0 \text{ ou } x+3=0\) .
D'où \(x^2-9 \iff x=3 \text{ ou } x=-3\) .
L'ensemble solution est \(S= \{-3\ ;\ 3\}\) .

Remarque

Le raisonnement par équivalence permet d'éviter la vérification des solutions.

Énoncé 2

Une suite \((u_n)\)  est arithmétique si et seulement s'il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que, pour tout \(n\) entier naturel,  \(u_n=an+b\) .

Solution

On démontre par double implication.

• Supposons  \((u_n)\)  arithmétique de raison \(r\) et de premier terme \(u_0\) .
  Démontrons qu'il existe deux réels   \(a\) et \(b\) tels que, pour tout \(n\) entier naturel,  \(u_n=an+b\) .
  D'après le cours de première, pour tout \(n\) entier naturel, \(u_n = rn+u_0\) . Ainsi \(a=r\)  et \(b=u_0\)  conviennent.
  
• Supposons qu'il existe \(a\) et  \(b\)  réels tels que, pour tout \(n\) entier naturel, \(u_n=an+b\) . Démontrons que la suite \((u_n)\) est arithmétique.
  Pour tout \(n\) entier naturel,  \(u_{n+1}-u_n=a(n+1)+b-(an+b)=an+a+b-an-b=a\) .
  Donc la suite   \((u_n)\) est arithmétique de raison \(a\) .
  

Conclusion : on a démontré par double implication l'équivalence demandée.